Неравенства на ОГЭ: знаки, интервалы и системы

Когда меняется знак

После вычислений нужно ещё записать множество решений или выбрать подходящий рисунок. Разберём оба шага на собственных учебных примерах.

Из неравенства 2 < 5 после умножения на −1 получается −2 > −5. На числовой прямой −2 расположено правее −5.

Поэтому при умножении или делении на отрицательное число:

• знак < заменяем на >;
• знак > заменяем на <;
• знак ≤ заменяем на ≥;
• знак ≥ заменяем на ≤.

При прибавлении одного и того же числа к обеим частям знак сохраняется. При умножении или делении на положительное число — тоже.

Не путай это правило со сменой знака слагаемого при переносе. Например, из x + 3 < 7 получаем x < 4: мы вычли 3 из обеих частей, поэтому знак < остался прежним.

Пример с положительным коэффициентом

Решим 3x − 7 ≤ 8.

Прибавим 7 к обеим частям:

3x ≤ 15.

Разделим на положительное число 3:

x ≤ 5.

Подходят 5 и все числа левее него: 4, 0, −100. Число 6 не подходит: 3 · 6 − 7 = 11, а 11 ≤ 8 неверно.

Подстановка помогает обнаружить ошибку, но не заменяет решение: проверка одного числа не доказывает, что найдено всё множество ответов.

Пример с отрицательным коэффициентом

Решим 5 − 2x > 11.

Вычтем 5:

−2x > 6.

Делим на −2 и меняем знак:

x < −3.

Проверим x = −4: 5 − 2 · (−4) = 13, и 13 > 11. Граница −3 не входит в ответ: при ней получаем 11 > 11, что неверно.

Как показать ответ на прямой

Круглая скобка означает, что граничное число не включено. Квадратная — включено. Рядом с бесконечностью всегда ставят круглую скобку: бесконечность не является числом, которое можно включить в промежуток.

Сначала проверь направление луча, затем вид точки. Рисунки, отличающиеся только закрашенной границей, задают разные множества.

Как решить систему неравенств

В системе одно и то же x должно удовлетворять каждому условию. Поэтому ищем пересечение решений.

Пусть даны два неравенства:

2x + 1 > 5 и 7 − x ≥ 2.

Из первого получаем x > 2. Из второго: −x ≥ −5, значит x ≤ 5.

Оба условия выполняются при 2 < x ≤ 5. Ответ: (2; 5]. Число 2 не входит из-за строгого первого неравенства; 5 входит, потому что удовлетворяет обоим.

Бывают и другие случаи:

• x > 5 и x ≤ 2 — общих чисел нет, решений нет;
• x ≥ 1 и x > 3 — остаётся более строгое ограничение x > 3.

Если в условии нужна совокупность, то есть достаточно выполнения хотя бы одного неравенства, ищут объединение. Не подменяй им пересечение системы.

Почему нельзя делить на выражение с x без проверки

В неравенстве x(x − 2) > 0 нельзя просто разделить обе части на x. При положительном x знак сохранился бы, при отрицательном поменялся бы, а при x = 0 деление вообще невозможно.

Здесь можно рассмотреть знаки двух множителей. Произведение положительно, когда оба положительны или оба отрицательны:

• x > 0 и x − 2 > 0 дают x > 2;
• x < 0 и x − 2 < 0 дают x < 0.

Ответ: (−∞; 0) ∪ (2; +∞). Числа 0 и 2 исключены: произведение в них равно нулю.

Реши самостоятельно

1. 4x − 3 ≥ 9.
2. 7 − 3x < 1.
3. Система: x + 2 > 1 и 2x ≤ 6.
4. Система: x < −2 и x ≥ 4.
5. −2(x − 3) ≤ 10.

Ответы

1. x ≥ 3, или [3; +∞).
2. x > 2, или (2; +∞): при делении на −3 знак меняется.
3. −1 < x ≤ 3, или (−1; 3].
4. Решений нет.
5. x ≥ −2, или [−2; +∞): −2x + 6 ≤ 10, затем −2x ≤ 4.

Решать неравенства в тренажёре. Если ошибка возникает раньше, при раскрытии скобок, повтори это правило на примерах.

Официальные темы для подготовки доступны в навигаторе ФИПИ по математике. Примеры статьи составлены отдельно и не воспроизводят демоверсию.