Линейные уравнения на ОГЭ: скобки, знаки и проверка

Что значит решить уравнение

Решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно, или установить, что таких значений нет. В линейном уравнении после преобразований получается вид ax = b. Если a не равно нулю, остаётся разделить обе части на a.

Главное правило: одинаковое действие выполняют с обеими частями равенства. Можно прибавить одно и то же число, вычесть одно и то же выражение или разделить обе части на одно и то же ненулевое число. «Перенос со сменой знака» — короткая запись вычитания с обеих сторон, а не отдельная магическая операция.

Пример со скобками

Решим уравнение 3(x − 2) = 2x + 5. Сначала раскроем скобки: тройка умножается на каждое слагаемое внутри.

Проверим в исходном уравнении. Слева 3 · (11 − 2) = 27. Справа 2 · 11 + 5 = 27. Получилось одно и то же число, значит найденное значение подходит.

Не записывай 3(x − 2) как 3x − 2: множитель относится и к x, и к числу −2. Если этот шаг пока вызывает вопросы, сначала потренируй раскрытие скобок в основах.

Минус перед скобками

В выражении −2(x − 3) второй результат положительный: −2 · (−3) = 6. Поэтому −2(x − 3) = −2x + 6. Если перед скобками стоит только минус, представляй его как множитель −1.

Подстановка: 5 − 2 · (1 − 3) = 5 + 4 = 9. Проверять лучше исходную запись: если ошибка уже появилась в первой строке преобразований, проверка последней строки её не обнаружит.

Уравнение с дробями

Если знаменатели — числа, можно умножить обе части на их общий кратный. В уравнении (x − 1)/3 = (x + 3)/5 удобно умножить обе части на 15.

Слева (7 − 1)/3 = 2, справа (7 + 3)/5 = 2. Не сокращай отдельные слагаемые в сумме: в числителе x − 1 нельзя «убрать тройку» только у одного из них. Если неизвестное стоит в знаменателе, дополнительно нужны ограничения: знаменатель не может равняться нулю. Это уже отдельный тип уравнений.

Что делать, если x исчез

После раскрытия скобок неизвестные могут сократиться. Например, 2(x + 1) = 2x + 2 превращается в 2 = 2: подходит любое действительное x. А 2(x + 1) = 2x + 3 даёт 2 = 3: решений нет. Нельзя делить на нулевой коэффициент при x.

Ещё одна частая ошибка — остановиться на −3x = 12 и записать x = 4. Деление на −3 даёт x = −4. Перед записью ответа отдельно посмотри на знак коэффициента.

Три задания для самопроверки

Реши без просмотра примеров: 1) 4(x − 2) = 12; 2) 7 − 3(x + 1) = 10; 3) (x + 2)/4 = 3. Для каждого ответа выполни подстановку.

Если ответ не совпал, найди первую строку, где равенство нарушилось. Затем реши новый пример в разделе уравнений. Для задач с ценами пригодится следующий разбор: как считать проценты.