Графики функций на ОГЭ: как сопоставить формулу и рисунок
Чтобы сопоставить график с формулой, найди несколько проверяемых признаков: форму кривой, точку пересечения с осью y, направление ветвей или наклон. Затем подставь координаты удобной точки. Одного впечатления «этот график похож» недостаточно.
Прямая: что означают k и b
Начнём с прямой, параболы и гиперболы. Все примеры ниже учебные.
График функции y = kx + b — прямая.
| Параметр | Что проверить на рисунке |
|---|---|
| k > 0 | Прямая поднимается при движении слева направо |
| k < 0 | Прямая опускается при движении слева направо |
| k = 0 | Прямая горизонтальна |
| b | Значение y в точке пересечения с вертикальной осью |
У прямой y = −2x + 3 коэффициент k отрицательный, поэтому она идёт вниз слева направо. Ось y она пересекает в точке (0; 3).
Проверим ещё одну точку: при x = 1 получаем y = −2 + 3 = 1. Значит, точка (1; 1) лежит на графике. А для пересечения с осью x полагаем y = 0: −2x + 3 = 0, откуда x = 1,5.
Если нужно найти k по двум точкам, используй:
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
Для точек (0; 3) и (1; 1) это (1 − 3) / (1 − 0) = −2. Делим изменение y на изменение x, а не наоборот.
Парабола: ветви, вершина и пересечения
У функции y = ax² + bx + c, где a ≠ 0, график — парабола.
- При a > 0 ветви направлены вверх.
- При a < 0 — вниз.
- Точка пересечения с осью y имеет координаты (0; c).
- Абсцисса вершины равна x₀ = −b / (2a).
Для y = x² − 4x + 3 ветви идут вверх, а пересечение с осью y находится на уровне 3. Вершина имеет абсциссу x₀ = 4 / 2 = 2. Подставляем её: y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина — (2; −1).
Нули функции найдём из x² − 4x + 3 = 0:
(x − 1)(x − 3) = 0, значит x = 1 или x = 3.
График пересекает горизонтальную ось в точках (1; 0) и (3; 0). Для сопоставления с рисунком теперь есть четыре опоры: ветви, вершина и два нуля.
Запись y = (x − 2)² − 1 задаёт ту же параболу. В таком виде вершина видна сразу. Обрати внимание на знак: выражение x − 2 соответствует сдвигу вершины вправо, к x = 2.
Гипербола y = k/x
Для функции y = k/x, где k ≠ 0, значение x = 0 запрещено.
При k > 0 ветви расположены в I и III координатных четвертях. При k < 0 — во II и IV. Это правило относится именно к формуле k/x без дополнительных сдвигов.
Например, у y = −4/x:
- при x = −2 получаем y = 2;
- при x = 1 получаем y = −4;
- при x = 2 получаем y = −2.
График проходит через точки (−2; 2), (1; −4), (2; −2). Оси координат он не пересекает. Если точка графика дана, параметр удобно найти умножением: k = xy.
В каком порядке сопоставлять графики
Допустим, даны три формулы: y = 2x − 1, y = −x + 2, y = x² − 1.
Сначала выдели параболу: среди этих формул она одна. Затем сравни две прямые. Возрастающая соответствует y = 2x − 1, убывающая — y = −x + 2. Пересечения с осью y, равные −1 и 2, подтвердят выбор.
Если у двух прямых одинаковое направление, одного знака k уже мало. Посмотри на b и проверь точку. Если у двух парабол ветви направлены вверх, сравни вершины или нули.
Не оценивай коэффициенты только по видимой «крутизне»: масштаб осей может различаться. Подписанные координаты надёжнее угла на картинке.
Проверь себя без рисунка
- Прямая проходит через точки (0; −2) и (2; 4). Найди её формулу.
- Назови вершину и направление ветвей параболы y = (x + 1)² − 4.
- В каких четвертях расположен график y = 6/x?
- Найди k, если график y = k/x проходит через точку (−3; 2).
- Принадлежит ли точка (2; 5) прямой y = 3x − 1?
Ответы и проверка
- y = 3x − 2: b = −2; k = (4 + 2) / 2 = 3.
- (−1; −4), ветви вверх.
- В I и III четвертях, поскольку k положителен.
- k = −6: (−3) · 2.
- Да: 3 · 2 − 1 = 5.
Перейти к заданиям на графики.
Официальный перечень тем смотри в навигаторе подготовки ФИПИ. Рисунки и числовые примеры этой статьи подготовлены для объяснения.
Теперь попробуй сам
Один новый пример покажет, что уже понятно и какой шаг стоит повторить.
Перейти к заданиям
